Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 7 класс, Просвещение: 47. Дан треугольник ABC. На стороне АС взята точка В1, а на стороне ВС — точка A1. Докажите, что отрезки АА1 и ВВ1 пересекаются (рис. 28). Дано: треугольник ABC; B1 принадлежит AC и A1 принадлежит BC; Доказать: отрезки AA1 и BB1 пересекаются; Доказательство: 1) Прямая BB1 пересекает отрезок AC в точке B1, значит точки A и C лежат в разных полуплоскостях относительно прямой BB1; 2) Прямые BC и BB1 пересекаются в точке B; 3) Точка A1 принадлежит отрезку BC; 4) Так как две прямые не могут пересекаться в двух точках, то точки C и A1 лежат в одной полуплоскости относительно прямой BB1; 5) Точки A и A1 лежат в разных полуплоскостях, значит отрезок AA1 пересекает прямую BB1; 6) Аналогично для отрезка BB1 и прямой AA1, значит отрезки AA1 и BB1 пересекаются, что и требовалось доказать.
