Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 9 класс, Просвещение: 4. Докажите, что у замкнутой ломаной расстояние между любыми двумя вершинами не больше половины длины ломаной. Доказать: у замкнутой ломаной расстояние между любыми двумя вершинами не больше половины длины ломаной; Доказательство: 1) Пусть данная замкнутая ломаная состоит из n вершин; 2) Возьмем произвольную вершину Ak (k < n), проведем отрезок A1 Ak; 3) Рассмотрим данную ломаную как две незамкнутые ломаные, концы которых соединяет отрезок A1 Ak, тогда по теореме 13.1: A1 Ak?A1 A2+A2 A3+...+A(k-1) Ak; A1 Ak?Ak A(k+1)+...+A(n-1) An+An A1; 4) Аналогично, если вместо вершины ломаной A1 концом отрезка является любая другая вершина; 5) Так как наша замкнутая ломаная состоит из этих двух незамкнутых ломаных, то по крайней мере одна из них имеет длину не большую, чем половина длины замкнутой ломаной, следовательно и отрезок A1 Ak имеет длину не большую, чем половина длины замкнутой ломаной, что и требовалось доказать.
