Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 9 класс, Просвещение: 7. Докажите, что если концы ломаной лежат по разные стороны от данной прямой, то она пересекает эту прямую (рис. 294). Доказать: если концы ломаной лежат по разные стороны от данной прямой, то она пересекает эту прямую; Доказательство: 1) Пусть c-данная прямая, которая разбивает плоскость на две полуплоскости Альфа и Бетта, а A1 A2…An-данная ломаная, у которой: конец A1 лежит в полуплоскости Альфа, а конец An-в полуплоскости Бетта; 2) Все вершины данной ломаной принадлежат, либо полуплоскости Альфа, либо полуплоскости Бетта, либо прямой c; 3) В случае, когда по крайней мере одна вершина Ak ломаной A1 A2…An принадлежит прямой c, данная ломаная пересекает прямую c в точке Ak; 4) В ином случае, последовательно рассматривая вершины ломаной, найдем такую вершину Ak, лежащую в полуплоскости Альфа, для которой вершина A(k+1) лежит в полуплоскости Бетта; 5) Так как концы отрезка Ak A(k+1) лежат в различных полуплоскостях, на которые разбивает плоскость прямая c, то он пересекает эту прямую; 6) Отрезок Ak A(k+1) является частью данной ломаной, следовательно она также пересекает прямую c, что и требовалось доказать.
