Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 9 класс, Просвещение: 9. Даны три параллельные плоскости альфа 1,альфа 2,альфа 3. Пусть Х1,Х2,Х3— точки пересечения этих плоскостей с произвольной прямой. Докажите, что отношение длин отрезков Х1Х2 : Х2Х3 не зависит от прямой, т. е. одинаково для любых двух прямых. Дано: параллельные плоскости Альфа1,Альфа2,Альфа3; X1,X2,X3-точки пересечения этих плоскостей с произвольной прямой; Доказать: отношение X1 X2 :X2 X3 не зависит от прямой, то есть одинаково для любых двух прямых; Доказательство: 1) Построим прямую, параллельную прямой X1 X3,пересекающую данные плоскости в точках Y1,Y2 и Y3; 2) Так как прямые X1 X3 и Y1 Y3 параллельны, то они лежат в одной плоскости, значит прямые X1 Y1,X2 Y2 и X3 Y3,по которым эта плоскость пересекает плоскости Альфа1,Альфа2 и Альфа3,параллельны; 3) Четырехугольники X1 Y1 Y2 X2 и X2 Y2 Y3 X3 являются параллелограммами по определению, значит: X1 X2=Y1 Y2 и X2 X3=Y2 Y3,отсюда X1 X2 :X2 X3=Y1 Y2 :Y2 Y3; 4) Пусть Z1,Z2 и Z3-точки пересечения произвольной прямой с плоскостями Альфа1,Альфа2 и Альфа3; 5) Проведем через точку Z3 прямую, параллельную прямой X1 X3,и пересекающую плоскости Альфа1 и Альфа2 в точках T1 и T2 по доказанному: T1 T2 :T2 Z3=X1 X2 :X2 X3; 6) Так как прямые Z1 Z3 и T1 Z3 пересекаются, то через них можно провести плоскость, значит прямые Z1 T1 и Z2 T2,по которым эта плоскость пересекает плоскости Альфа1 и Альфа2,параллельны; 7) По теореме о пропорциональных отрезках: Z1 Z2 :Z2 Z3=T1 T2 :T2 Z3=X1 X2 :X2 X3,что и требовалось доказать.
