Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 7 класс, Просвещение: 7. Докажите равенство треугольников по медиане и углам, на которые медиана разбивает угол треугольника. Доказать: если медиана и углы, на которые медиана разбивает угол треугольника равны, то два треугольники равны; Доказательство: 1) Пусть у треугольников ABC и A1 B1 C1 равны медианы AM и A1 M1, а также угол BAM = углу B1 A1 M1 и угол CAM = углу C1 A1 M1; 2) На прямой AM в полуплоскости противоположной той, в которой лежит отрезок AM, относительно прямой BC отложим отрезок MK, равный отрезку AM; 3) Углы BMK и AMC равны как вертикальные; 4) AM медиана треугольника ABC, значит BM=MC; 5) Треугольники AMC и BMK равны по первому признаку, значит BK=AC и угол MKB = углу MAC; 6) Аналогичные построения проведем для треугольник A1 B1 M1, тогда треугольник A1 M1 C1=треугольник B1 M1 K1, отсюда B1 K1=A1 C1 и угол M1 K1 B1 = углу M1 A1 C1; 7) Так как AM=A1 M1, то AK=2AM=2A1 M1=A1 K1; 8) угол MKB = углу MAC = углу C1 A1 M1 = углу M1 K1 B1; 9) Таким образом, треугольники ABK и A1 B1 K1 равны по второму признаку, значит AB=A1 B1 и B1 K1=BK, отсюда AC=A1 C1; 10) угол ABC = углу BAM+ угол MAC = углу B1 A1 M1+ угол M1 A1 C1 = углу A1 B1 C1; 11) Следовательно, треугольники ABC и A1 B1 C1 равны по первому признаку, что и требовалось доказать.
