Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 7 класс, Просвещение: 14 1) Окружности с центрами О и O1 пересекаются в точках А и В. Докажите, что прямая АВ перпендикулярна прямой ООх. 2) Докажите, что две окружности не могут пересекаться более чем в двух точках. I) Отобразим условие задачи: Дано: окружности с центрами в точках O и O1 пересекаются в точках A и B; Доказать: прямая AB перпендикулярна прямой OO1; Доказательство: 1) Пусть M-точка пересечения прямых AB и OO1; 2) OA=OB и O1 A=O1 B (радиусы данных окружностей); 3) Треугольники OAO1 и OBO1 равны по третьему признаку (OO1-общая сторона), отсюда угол AOO1 = углу BOO1; 4) Рассмотрим треугольник AOB-равнобедренный: угол AOM = углу MOB, значит OM-биссектриса и высота, значит угол OMB=90°; 5) Таким образом, прямые AB и OO1 перпендикулярны, что и требовалось доказать. II) Доказать: две окружности не могут пересекаться более, чем в двух точках; Доказательство: 1) Пусть окружности с центрами в точках O и O1 пересекаются в точках A и B, тогда из доказанного AB перпендикулярен OO1; 2) Допустим, что окружности пересекаются в третьей точке C, тогда AC перпендикулярен OO1 и BC перпендикулярен OO1, значит AC||BC; 3) Так как прямые AC и BC имеют общую точку, то они не могут быть параллельны, значит такой точки C не существует; 4) Таким образом, окружности могут пересекаться не более, чем в двух точках, что и требовалось доказать.
