Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 7 класс, Просвещение: 51 1) Из точки А к окружности с центром О и радиусом R проведена касательная (рис. 112). Докажите, что точка С касания лежит на основании равнобедренного треугольника ОАВ, у которого ОА = АВ, ОВ = 2R. 2) Проведите касательную к окружности, проходящую через данную точку вне окружности. I) Отобразим условие задачи: Дано: касательная из точки A и окружность с центром O и радиусом R, касаются в точке C; Доказать: точка C лежит на основаниии равнобедренного треугольника OAB, у которого OA=AB и OB=2R; Доказательство: 1) Отрезок OC является радиусом данной окружности, значит: OC=R, а также отрезок OC и касательная AC перпендикулярны; 2) Согласно теореме о геометрическом месте точек, равноудаленных от двух данных точек, существует точка B удаленная от точки C на расстояние R (как точка A) и при этом отрезок OB перпендикулярен прямой AC; 3) Так как в треугольнике AOB отрезок AC является высотой и медианой, то он равнобедренный, отсюда OA=AB; 4) Таким образом, точка C лежит на основаниии OB равнобедренного треугольника AOB, при этом OB=OC+CB=R+R=2R, что и требовалось доказать. II) Построить: касательную к окружности, проходящую через данную точку; Построение: 1) Пусть даны точка A и окружность с центром в точке O. 2) Проведем прямую через точку O, на пересечении этой прямой и данной окружности отметим точки D и D1; 3) Отрезок DD1 равен 2R (как диаметр); 4) Из точки A проведем окружность радиуса AO, а из точки O проведем окружность радиуса DD1, на пересечении этих окружностей отметим точку B; 5) На пересечении отрезка OB и окружности с центром в точке O, отметим точку C, данная точка лежит на основаниии равнобедренного треугольника AOB; 6) Прямая AC-искомая касательная
