Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 7 класс, Просвещение: 53. Докажите, что прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке. Отобразим условие задачи: Доказать: высоты треугольника пересекаются в одной точке; Доказательство: 1) Пусть ABC-данный треугольник, а A1 B1 C1-треугольник, образованный прямыми, параллельными его сторонам и проходяшими через противолежащие этим сторонам вершины; 2) Проведем высоту BH треугольника ABC, так как прямые A1 C1 и AC параллельны, то BH перпендикулярен A1 C1; 3) угол ABC = углу BCA1 (так как A1 B1 ||AB и BC-секущая); 4) угол ABC = углу BAC1 (так как B1 C1 ||BC и AB-секущая); 5) угол BCA = углу CBA1 (так как A1 C1 ||AC и BC-секущая); 6) угол BAC = углу ABC1 (так как A1 C1 ||AC и AB-секущая); 7) Треугольники ABC и ABC1 равны по второму признаку, отсюда BC1=AC; 8) Треугольники ABC и CBA1 равны по второму признаку, отсюда BA1=AC; 9) Таким образом, C1 B=BA1, значит прямая BH является серединным перпендикуляром стороны A1 C1 треугольника A1 B1 C1; 10) Аналогичным образом доказывается и для других высот и сторон; 11) Следовательно высоты треугольнка ABC являются серединными перпендикулярами сторон треугольника A1 B1 C1; 12) Вокруг любого треугольника можно описать окружность и только одну; 13) Значит высоты треугольника ABC пересекаются в одной точке, которая является центром описанной около треугольника A1 B1 C1 окружности, что и требовалось доказать.
