Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 8 класс, Просвещение: 58. Докажите, что середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба. И наоборот, середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника. Доказать: середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба; Доказательство: 1) Пусть ABCD-данный прямоугольник и E, F, G, H-середины его сторон; 2) По свойству прямоугольника: AC=BD; 3) Отрезок EF-средняя линия треугольника ABC, отсюда: EF||AC и EF=1/2 AC; 4) Отрезок FG-средняя линия треугольника CBD, отсюда: FG||BD и FG=1/2 BD; 5) Так как AC=BD, то EF=FG; 6) В задаче 55 было доказано, что EFGH-параллелограмм, отсюда следует, что EH=FG=EF=HG; 7) Таким образом, у параллелограмма EFGH все стороны равны, значит он является ромбом, что и требовалось доказать. Доказать: середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника; Доказательство: 1) Пусть ABCD-данный ромб и E, F, G, H-середины его сторон; 2) По свойству ромба: AC перпендикулярен BD; 3) Отрезок EF-средняя линия треугольника ABC, отсюда: EF||AC; 4) Отрезок FG-средняя линия треугольника CBD, отсюда: FG||BD; 5) Так как AC перпендикулярен BD, то EF перпендикулярен FG; 6) В задаче 55 было доказано, что EFGH-параллелограмм, а так как оин из его углов прямой, то он является прямоугольником (задача 25), что и требовалось доказать.
