Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 8 класс, Просвещение: 20. Докажите, что расстояние между любыми двумя точками на сторонах треугольника не больше большей из его сторон. Доказать: расстояние между двумя точками на сторонах треугольника не больше большей из его сторон; Доказательство: 1) Пусть ABC-данный треугольник, с большей стороной AC, а точки X и D лежат на его сторонах; 2) Если точки X и D лежат на одной стороне, то доказываемое утверж- дение очевидно, так как наибольшее расстояние между ними может быть равно AC (если точки X и D совпадают с точками A и C); 3) Пусть точка X лежит на стороне AB, а точка D лежит на стороне CB; 4) Рассмотрим треугольник CXB: По доказанному в задаче 7.19: (1) XD < XB или (2) XD < XC; 5) Так как точка X лежит на отрезке AB, то XB < AB, значит в случае (1) выполняется неравенство XD < AB; 6) Рассмотрим треугольник ABC: По доказанному в задаче 7.19: CX < AC или CX < CB, то есть в любом случае отрезок CX меньше наибольшей стороны треугольника; 7) Следовательно в случае (2) выполняется неравенство XD < AC; 8) Таким образом, расстояние между двумя точками на сторонах треугольника не больше большей из его сторон, что и требовалось Доказать.
