Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 8 класс, Просвещение: 11. Три населённых пункта А, В и С расположены в вершинах остроугольного треугольника. Где следует построить комбинат, чтобы сумма расстояний от него до всех трёх пунктов была наименьшей? Дано: три населенных пункта A, B и C расположены в вершинах остроугольного треугольника: Найти: где потроить комбинат K, чтобы сумма расстояний от него до всех трех пунктов была минимальной; Решение: 1) Допустим такая точка K уже существует; 2) Повернем треугольник AKB на угол 60° около вершины A так, чтобы точки B1 и K1 лежали по другую сторону от точки C относительно прямой AB; 3) Расстояния при движении сохраняются, значит: B1 K1=BK и AK=AK1; 4) Треугольник AKK1-равнобедренный с угол A=60°: угол K = углу K1=(180°-60°)/2=60°, значит треугольник AKK1-равносторонний, отсюда: KK1=AK; 5) AK+BK+CK=KK1+B1 K1+CK=CB1, а так как расстояния от точки K до вершин треугольника ABC минимальны, то по неравенству треугольника точки B1, K1, K и C лежат на одной прямой; 6) Аналогично доказывается, что если треугольник CBK повернуть на угол 60°, около точки B так, чтобы точки C2 и K2 лежали по другую сторону от точки A относительно прямой BC, то точка K будет лежать на одной прямой с точками A и C2; 7) Таким образом, для нахождения местоположения комбината K следует повернуть отрезок AB около точки A и отрезок CB около точки B на 60° так, чтобы точка B1 лежала по другую сторону от точки C относительно прямой AB, а точка C2-по другую сторону от точки A относительно прямой BC, тогда точка K будет лежать на пересечении прямых CB1 и AC2;
