Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 8 класс, Просвещение: 40. По одну сторону от железной дороги расположены два населённых пункта. В каком месте следует построить железнодорожную платформу данной длины, чтобы сумма расстояний от неё до населённых пунктов была наименьшей? (Два случая.) Дано: по одну сторону от железной дороги расположены два населенных пункта A и B; Найти: в каком месте следует построить железнодорожную платформу данной длины, чтобы сумма расстояний от нее до населенных пунктов была наименьшей; Решение: Пусть отрезок M1 M2 равен длине железнодорожной платформы; Опустим из точек A и B перпендикуляры A' и B' на железную дорогу; I) Рассмотрим случай, когда M1 M2 < A' B': 1) Переместим точку A в точку A1 по прямой, параллельной железной дорогеб, на расстояние M1 M2 в сторону точки B; 2) На продолжении перпендикуляра BB' отложим отрезок B' B1; 3) На пересечении прямой A1 B1 и железной дороги отметим точку M2; 4) На железной дороге от точки M2 отложим отрезок M2 M1 в сторону точки A'; 5) Четырехугольник AA1 M2 M1 является параллелограммом, так как AA1 ||M1 M2 и AA1=M1 M2, отсюда A1 M2=AM1; 6) Треугольник BB1 M2-равнобедренный, так как у него высота M2 B' является еще и медианой, отсюда: B1 M2=M2 B; 7) AM1+M2 B=A1 M2+M2 B1=A1 B1, следовательно длины отрезков AM1 и M2 B-минимальны. II) Рассмотрим случай, когда M1 M2?A' B': 1) В данном случае платформу следует расположить любым образом так, чтобы отрезок A' B' лежал внутри отрезка M1 M2; 2) Расстояние между точкой A и отрезком M1 M2 будет равно длине перпендикуляра AA', а расстояние между точкой B и M1 M2-длине перпендикуляра BB'; 3) Так как длина перпендикуляра, проведенного из точки к прямой, является расстоянием между ними, то длины отрезков AA' и BB'- минимальны.
