Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 8 класс, Просвещение: 40. Докажите, что геометрическое место точек, сумма квадратов расстояний от которых до двух данных точек постоянна, есть окружность с центром в середине отрезка, соединяющего данные точки. Доказать: геометрическое место точек, сумма квадратов расстояний от которых до двух данных точек постоянна, есть окружность с центром в середине отрезка, соединяющего данные точки; Доказательство: 1) Пусть A и B-данные точки; 2) Выберем точку M-одну из точек, сумма квадратов расстояний, от которых до точек A и B есть постоянная величина; 3) Отметим точку O-середину отрезка AB; 4) В треугольнике ABM отрезок MO является медианой, воспользуемся формулой, выведенной в задаче 10.39: MO=1/2 v(2(AM^2+BM^2)-AB^2); 4) По условию (AM^2+BM^2)-постоянная величина для любой из выбранных точек M, значит и длина отрезка MO-постоянна; 5) По определению множество всех точек равноудаленных от точки O является окружностью с центром в этой точке, что и требовалось Доказать.
