Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 8 класс, Просвещение: 45. В квадрат (рис. 146) вписан прямоугольник так, что на каждой стороне квадрата находится одна вершина прямоугольника и стороны прямоугольника параллельны диагоналям квадрата. Найдите стороны прямоугольника, зная, что одна из них вдвое больше другой и что диагональ квадрата равна 12 м. Дано: в квадрат вписан прямоугольник так, что на каждой стороне квадрата лежит одна вершина прямоугольника, а стороны прямоу- гольника параллельны диагоналям квадрата; одна сторона прямоу- гольника вдвое больше другой; диагональ квадрата равна 12 м; Найти: стороны прямоугольника; Решение: 1) Пусть ABCD-данный квадрат, EFGH-вписанный в него прямоу- гольник, а M, K-точки пересечения диагонали AC и сторон EFGH; 2) По свойтсвам квадрата: угол FAK = углу KAE = углу GCM = углу MCH (так как AC-биссектриса угол A и угол C); AC перпендикулярен BD, а так как GH||BD (по условию), то AC перпендикулярен GH; 3) Рассмотрим прямоугольный треугольник GCH: MC-высота и биссектриса, следовательно треугольник GCH-равнобедренный с основанием GH, отсюда MG=MC=MH; 4) Аналогично для треугольник FAE доказывается, что FK=AK=ME; 5) Так как FE=GH, GM=MH и FK=FE, то AK=MC; 6) GH=GM+MH=MC+AK; 7) FGMK является прямоугольником, так как его стороны FK и GM параллельны прямой BD, которая перпедикулярна прямой AC, отсюда FG=KM; 8) Примем x за единичный отрезок, тогда: GH=MC+AK=x и FG=KM=2x; 9) AC=MC+AK+KM=x+2x=3x; 3x=12, отсюда x=12/3=4 м; 10) FE=GH=4 м и EH=FG=2•4=8 м; Ответ: 4 м и 8 м.
