Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 7 класс, Просвещение: 13. Прямые АС и BD параллельны, причём точки А и D лежат по разные стороны от секущей ВС (см. рис. 77). Докажите, что: 1) углы DBC и АСВ внутренние накрест лежащие относительно секущей ВС; 2) луч ВС проходит между сторонами угла ABD; 3) углы САВ и DBA внутренние односторонние относительно секущей АВ. Дано: AC||BD; точки A и D лежат по разные стороны от BC; I) Доказать: углы DBC и ACB внутренние накрест лежащие относительно секущей BC; Доказательство: 1) Секущая BC делит плоскость на две полуплоскости; 2) Точки A и D по условию лежат в разных полуплоскостях относительно прямой BC, знаит углы DBC и ACB нутренние накрест лежащие по определению, что и требовалось доказать. II) Доказать: луч BC проходит между сторонами угла ABD; Доказательство: 1) Точки A и D лежат на сторонах угла ABD и находятся в разных полуплоскостях относительно прямой BC, значит отрезок AD и прямая BC пересекаются в некоторой точке X; 2) Проведем через точку X прямую x, параллельную прямым AC и BD; 3) Прямая x разбивает плоскость на две полуплоскости, точки A и D лежат в разных полуплоскостях (так как отрезок AD пересекает x в точке X); 4) Точка C лежит в той же полуплоскости, что и точка A, а точка B в той же полуплоскости, что и D, поэтому отрезок BC пересекает отрезок AD (в точке X); 5) Таким образом, луч BC пересекает отрезок AD, лежащий на сторонах угла ABD, следовательно он проходит между его сторонами, что и требовалось доказать. III) Доказать: углы CAB и DBA внутренние односторонние относительно секущей AB; Доказательство: 1) Точки C и D лежат по одну сторону от секущей AB (так как луч BC проходит внутри угла ABD); 2) Таким образом, углы CAB и DBA-внутренние односторонние по определению, что и требовалось доказать.
