Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 7 класс, Просвещение: 48. Докажите, что все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Доказать: все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точка; Доказательство: 1) Проведем биссектрисы из углов A и B произвольного треугольника ABC, они пересекутся в некоторой точке O; 2) Опустим из точки O перпендикуляры OD, OE и OF на стороны треугольник ABC как показано на рисунке; 3) Прямоугольные треугольники AOD и AOE равны по гипотенузе и острому углу (AO-общая гипотенуза и угол OAD = углу OAE так как AO- биссектриса угол OAE); 4) Из равенства треугольников следует равенство их катетов OD и OE; 5) Аналогично, равенство катетов OE и OF из равенства треугольников BOE и BOF, значит катеты OD, OF и OE равны между собой; 6) Прямоугольные треугольники COD и COF равны по гипотенузе и катету (CO-общая гипотенуза и OD=OF), отсюда угол OCD = углу OCF; 7) Следовательно луч CO-биссектриса угла C треуголььника ABC; 8) Таким образом, все биссектрисы треугольник ABC пересекаются в одной точке, что и требовалось доказать.
