Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 7 класс, Просвещение: 8. 1) Может ли окружность касаться прямой в двух точках? Объясните ответ. 2) Докажите, что касательная к окружности не имеет с ней других общих точек, кроме точки касания. I) Выяснить: может ли окружность касаться прямой в двух точках; Решение: 1) Пусть окружность с центром в точке O и прямая A касаются в точках A и B; 2) Так как касательная перпендикулярна радиусу, проведенному к точке касания, то: угол OAB = углу OBA=90°; 3) Таким образом, треугольник OAB имеет два прямых угла, что невозможно, значит прямая и окружность могут иметь только одну точку касания; Ответ: не могут. II) Доказать: касательная к окружности не имеет с ней других общих точек, кроме точки касания; Доказательство: 1) Пусть a-касатеьная к окружности в точке A; 2) Допустим, касательная и окружность имеют, кроме точки A, общую точку B, отличную от A; 3) Треугольник AOB равнобедренный с основанием AB (OA=OB=r), значит у него углы A и B равны; 4) Так как касательная перпендикулярна радиусу, проведенному к точке касания, то: угол OAB = углу OBA=90°, то есть у треугольник AOB два прямых угла, что невозможно, значит касательная к окружности не имеет с ней других общих точек, кроме точки касания, что и требовалось доказать.
