Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 7 класс, Просвещение: 51. Докажите, что расстояния от любых двух точек прямой до параллельной прямой равны. Доказать: расстояния от любых двух точек прямой жо параллеьной прямой равны; Доказательство: 1) Пусть a и b параллельные прямые, а A и A1-произвольные точки на прямой a; 2) Опустим из точки A1 перпендикуляр A1 B1 на прямую a; 3) Отложим из точки B1 на прямой b отрезок B1 B, равный отрезку AA1, так чтобы точки A1 и B были по разные стороны от прямой AB1; 4) Углы A1 AB1 и AB1 B равны как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых; 5) Треугольники AB1 A1 и B1 AB равны по первому признаку (AB1- общая сторона), отсюда угол ABB1 = углу AA1 B1=90° и AB=A1 B1; 6) Таким образом, перпендикуляры из двух случайных точек на прямой a, опущенные на прямую b равны, что и требовалось доказать.
