Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 7 класс, Просвещение: 43. Докажите, что: 1) около любого треугольника можно описать окружность, и только одну; 2) в любой треугольник можно вписать окружность, и только одну. I) Отобразим условие задачи: Доказать: около любого треугольника можно описать окружность и только одну; Доказательство: 1) Обозначим через O точку пересечения серединных перпендикуляров к сторонам AC и BC данного треугольника; 2) По теореме о геометрическом месте точек, равноудаленных от двух данных точек, точка O равноудалена как от вершин A и C, так и от вершин B и C; 3) Значит точка O равноудалена от всех вершин треугольника ABC, причем точка O лежит на серединных перпендикулярах к сторонам AC и BC, значит около любого треугольника можно описать окружность; 4) Так как серединные перпендикуляры пересекаются только в одной точке, то такая окружность единственная, что и требовалось доказать. II) Отобразим условие задачи: Доказать: в любой треугольник можно вписать окружность и только одну; Доказательство: 1) Докажем, что каждая точка биссетрисы равноудалена от сторон угла: - Из произвольной точки O опустим перпендикуляры OH1 и OH2 на стороны AB и AC угла BAC; - Треугольники AOH1 и AOH2 равны по гипотенузе и острому углу, отсюда OH1=OH2, то есть точка O равноудалена от сторон угла BAC; 2) Обозначим через O точку пересечения биссеткрис AA1 и CC1; 3) По доказаному в пункте 1, точка O равноудалена от сторон AB и BC и от сторон AC и BC: 4) Значит точка O равноудалена от всех сторон треугольника ABC, причем точка O лежит на биссектрисах AA1 и CC1 треугольника, значит в любой треугольник можно вписать окружность; 5) Так как сбиссеткрисы треугольника пересекаются только в одной точке, то такая окружность единственная, что и требовалось доказать.
