Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 7 класс, Просвещение: 44. Докажите, что: 1) прямые, содержащие высоты данного треугольника, являются серединными перпендикулярами к сторонам треугольника, образованного прямыми, проходящими через вершины данного треугольника параллельно соответствующим противолежащим сторонам; 2) все три прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке. I) Отобразим условие задачи: Доказать: прямые, содержащие высоты данного треугольника, являются серединными перпендикулярами к сторонам треугольника, образованного прямыми, проходящими через вершины данного треугольника, паралельно противолежащим сторонам; Доказательство: 1) Пусть ABC-данный треугольник, а A1 B1 C1-треугольник, образованный как сказано в условии задачи; 2) Проведем высоту BH треугольника ABC, так как прямые A1 C1 и AC параллельны, то BH перпендикулярен A1 C1; 3) угол ABC = углу BCA1 (так как A1 B1 ||AB и BC-секущая); 4) угол ABC = углу BAC1 (так как B1 C1 ||BC и AB-секущая); 5) угол BCA = углу CBA1 (так как A1 C1 ||AC и BC-секущая); 6) угол BAC = углу ABC1 (так как A1 C1 ||AC и AB-секущая); 7) Треугольники ABC и ABC1 равны по второму признаку, отсюда BC1=AC; 8) Треугольники ABC и CBA1 равны по второму признаку, отсюда BA1=AC; 9) Таким образом, C1 B=BA1, значит прямая BH является серединным перпендикуляром стороны A1 C1 треугольника A1 B1 C1, что и требовалось Доказать. 10) Аналогичным образом доказывается и для других высот и сторон; II) Доказать: все три прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке; Доказательство: 1) Из доказанного в пункте I этой задачи следует, что высоты треугольнка ABC являются серединными перпендикулярами сторон треугольника A1 B1 C1; 2) Как было доказано в предыдущей задаче вокруг любого треугольника можно описать окружность и только одну; 3) Значит высоты треугольника ABC пересекаются в одной точке, которая является центром описанной около треугольника A1 B1 C1 окружности, что и требовалось доказать.
