Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 8 класс, Просвещение: 42. На каждой стороне квадрата AJBCD отложены равные отрезки: АА1 = ВВ1 = СС1 = DD1. Докажите, что четырёхугольник A1B1C1D1 есть квадрат (рис. 145). Дано: ABCD-квадрат; на сторонах квадрата отложены равные отрезки AA1=BB1=CC1=DD1; Доказать: четырехугольник A1 B1 C1 D1-является квадратом; Доказательство: 1) ABCD-квадрат, значит: AB=BC=CD=AD; 2) Так как отрезки AA1, BB1, CC1 и DD1 равны, то и отрезки A1 B, B1 C, C1 D и D1 A также равны; 3) Прямоугольные треугольники BB1 A1, CC1 B1, DD1 C1 и AA1 D1 равны по двум катетам, отсюда: A1 B1=B1 C1=C1 D1=D1 A1, BA1 B1= = углу CB1 C1 = углу DC1 D1 = углу AD1 A1 и угол BB1 A1 = углу CC1 B1 = углу DD1 C1 = углу AA1 D1; 4) Так как все стороны четырехугольника A1 B1 C1 D1 равны, то он является ромбом; 5) Треугольник BB1 A1-прямоугольный, следовательно: угол BB1 A1+ угол BA1 B1=180°- угол A1 BB1=180°-90°=90°; 6) Докажем, что угол A1 B1 C1-прямой: угол A1 B1 C1 = углу BB1 C-(угол BB1 A1+ угол C1 B1 C); угол A1 B1 C1 = углу BB1 C-(угол BB1 A1+ угол BA1 B1)=180°-90°=90°; 7) Аналогично доказыается, что углы B1 C1 D1, C1 D1 A1 и D1 A1 B1 также являются прямыми; 8) Так как у ромба A1 B1 C1 D1 все углы прямые, то он является квадратом, что и требуется доказать.
