Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 8 класс, Просвещение: 28. Докажите, что медиана треугольника ABC, проведённая из вершины А, меньше полусуммы сторон АВ и АС. Доказать: медиана треугольника ABC, проведенная из вершины A меньше полусуммы сторон AB и AC; Доказательство: 1) Пусть AM-медиана, проведенная из вершины A, тогда: BM=MC; 2) На полупрямой AM построим отрезок MD=AM; 3) Рассмотрим треугольники ABM и DCM: MD=AM, BM=MC и угол BMA = углу CMD (как вертикальные), значит треугольник ABM=треугольник DCM (по первому признаку), отсюда DC=AB; 4) В треугольнике ADC по неравенству треугольника: AD < AC+DC; 5) Так как DC=AB, то: AD < AC+AB; 6) Разделим обе части неравенства на 2: AD/2 < (AC+AB)/2; 7) Так как AM=AD/2, то: AM < (AC+AB)/2, что и требовалось доказать.
