Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 8 класс, Просвещение: 30. Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О. а) Докажите, что сумма расстояний от любой точки плоскости до точек А, В, С и D не меньше чем ОА + ОВ + ОС + OD. Дано: отрезки AB и CD пересекаются в точке O; Доказать: расстояние от любой точки плоскости до конов этого отрезка не меньше, чем OA+OB+OC+OD; Доказательство: 1) Пусть X-произвольная точка на плоскости; 2) По неравенству треугольника для точек A, B, X: XA+XB > =AB; 3) По неравенству треугольника для точек C, D, X: XC+XD > =CD; 4) Сложим эти неравенства межу собой: XA+XB+XC+XD > =AB+CD; 5) AB=OA+OB и CD=OC+OD, следовательно: XA+XB+XC+XD > =OA+OB+OC+OD, что и требовалось доказать.
