Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 8 класс, Просвещение: 29. Известно, что диагонали четырёхугольника пересекаются. Докажите, что сумма их длин меньше периметра, но больше полупериметра четырёхугольника. Доказать: сумма длин диагоналей четырехугольника меньше периметра, но больше полупериметра четырехугольника; Доказательство: 1) Пусть ABCD-данный четырехугольник, диагонали AC и BD которого пересекаются в точке O; 2) Согласно неравенству треугольника: В треугольнике ABC: AC < AB+BC; В треугольнике ADC: AC < AD+CD; В треугольнике ABD: BD < AB+AD; В треугольнике CBD: BD < BC+CD; 3) Сложим все четыре эти неравенства между собой, получим: 2(AC+BD) < 2(AB+BC+CD+AD), отсюда AC+BD < P; 4) Согласно неравенству треугольника: В треугольнике AOB: AB < OA+OB; В треугольнике BOC: BC < OB+OC; В треугольнике COD: CD < OC+OD; В треугольнике DOA: AD < OA+OD; 5) Сложим все четыре эти неравенства между собой, получим: AB+BC+CD+AD < 2(OA+OC)+2(OB+OD), отсюда P < 2(AC+BD); 6) Разделим обе части выражения на 2, получим: AC+BD > P/2; 7) Таким образом: P/2 < AC+BD < P, что и требовалось доказать.
