Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 8 класс, Просвещение: 14. Чему равны координаты точки, симметричной точке (-3; 4) относительно: 1) оси х; 2) оси у; 3) начала координат? Дано: точка (-3; 4); Найти: координаты точки, симметричной данной, относительно 1) оси x; 2) оси y; 3) начала координат; Решение: Пусть A данная точка, а x и y ее координаты; 1) Точка Ax', симметричная данной, лежит на перпендикуляре к оси x, значит она имеет такую же абсциссу: x2=x1=-3; Так как расстояния от точек A и Ax' до точки пересечения оси x и перпендикуляра, проведенного к ней из точки A одинаковы, то их ординаты отличаются только знаком: y2=-y1=-4; 2) Точка Ay', симметричная данной, лежит на перпендикуляре к оси y, значит она имеет такую же оринату: y2=y1=4; Так как расстояния от точек A и Ay' до точки пересечения оси y и перпендикуляра, проведенного к ней из точки A, одинаковы, то их абсциссы отличаются только знаком: x2=-x1=3; 3) Точка A0', симметричная данной лежит на прямой OA, при этом AO=OA0' (по определению симметрии относительно точки); Опустим перпендикуляры AE и A0' F на ось x; угол AOE = углу A0' OF (как вертикальные); Прямоугольные треугольники AOE и A0' OF равны по гипотенузе и острому углу, отсюда: OF=OE и A0' F=AE; Значит, абсциссы и ординаты точек A0' и A отличаются только знаком: x2=-x1=3 и y2=-y1=-4; Ответ: 1) (-3; -4); 2) (4; -3); 3) (3; -4).
