Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 8 класс, Просвещение: 15. При симметрии относительно некоторой прямой точка X переходит в точку X'. Постройте точку, в которую при этой симметрии переходит точка У. Дано: точка X при симметрии относительно некторой прямой переходит в точку X'; Построить: точку, в которую при этой симметрии переходит точка Y; Построение: 1) Пусть X, X' и Y-данные точки. 2) Построим серединный перпендикуляр отрезка отрезка XX', для этого: - Из точек X и X' проведем окружности равного радиуса XX'; - Проведем прямую a через точки пересечения этих окружностей, эта прямая является серединным перпендикуляром отрезка XX'; - Отметим точку O на пересечении прямой a и отрезка XX'; 3) Прямая a является осью симметрии (так как точки X, O и X' лежат на одной прямой, перпендикулярной к ней и OX=OX'); 4) Проведем через какие-нибудь две точки прямой a окружности, проходящие через точку Y и отметим точку Y' на втором пересечении этих окружностей; 5) YY'-общая хорда двух окружностей, через которую проходит прямая a содержащая их центры, значит прямая a пепрендикулярна отрезку YY' и делит его пополам; 6) Таким образом, точки Y и Y' симметрична относительно прямой a.
