Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 8 класс, Просвещение: 8. Докажите, что у параллелограмма точка пересечения диагоналей является центром симметрии. Доказать: у параллелограмма точка пересечения диагоналей является центром симметрии; Доказательство: 1) Пусть ABCD-параллелограмм и O-точка пересечения диагоналей; 2) По свойству параллелограмма: AB||CD, BC||AD, AO=OC и BO=OD; 3) Таким образом, при преобразовании симметрии относительно точки O вершина A переходит в вершину C, а вершина B переходит в вершину D и наоборот; 4) Возьмем произвольную точку E на стороне BC, проведем прямую EO и отметим точку F на пересечении этой прямой и стороны AD; 5) Углы AOF и EOC равны как вертикальные; 6) Углы OAF и OCE равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AD и BC и секущей EF; 7) Треугольники AOF и COE равны по второму признаку, отсюда OE=OF, следовательно точки E и F симметричны относительно точки O; 8) Аналогично, доказывается что произвольная точка стороны AB переходит в точку стороны CD; 9) Таким образом, каждая точка параллелограмма при преобразовании симметрии относительно точки пересечения его диагоналей переходит в другую точку параллелограмма, следовательно параллелограмм является центрально-симметричной фигурой с центром симметрии в точке пересечения диагоналей, что и требовалось доказать.
