Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 8 класс, Просвещение: 20. Докажите, что прямые, проходящие через точку пересечения диагоналей прямоугольника параллельно его сторонам, являются его осями симметрии (рис. 210). Доказать: прямые, проходящие через точку пересечения диагоналей прямоугольника, параллельно его сторонам, являются его осями симметрии; Доказательство: 1) Пусть ABCD-прямоугольник и O-точка пересечения диагоналей, прямые MN и EF проходят через точку O параллельно сторонам ABCD, значит эти прямые перпендикулярны двум другим сторонам и друг другу; 2) Треугольники AOB и COD-равнобедренные (AO=OB=OC=OD), а отрезки EO и OF их высоты, значит они являются и медианами, тогда: AE=BE=CF=FD=1/2 AB; 3) Так как в параллелограммах BMEO и ANOE соседние стороны перпендикулярны, то они являются прямоугольниками, тогда: MO=BE=AE=ON; 4) Возьмем произвольную точку X на стороне BC, опустим из нее перпендикуляр XO1 на прямую EF и отметим точку X' на пересечении этого перпендикуляра и стороны AD; 5) Так как в параллелограммах MXO1 O и NX' O1 O соседние стороны перпендикулярны, то они являются прямоугольниками, тогда: XO1=MO=ON=O1 X'; 6) Таким образом, точки X и X' симметричны относительно прямой EF, а так как точка X произвольная точка отрезка BC, то отрезки BC и AD симметричны относительно прямой EF; 7) Любая точка отрезка AB симметрична какой-нибудь другой точке этого отрезка отсносительно EF, так как AB перпендикулярен EF, а расстояния от этих точек до точки F меньше, чем расстояния от точек A или B до точки F; 8) Аналогично, любая точка отрезка CD симметрична какой-нибудь другой точке этого отрезка отсносительно EF 9) Таким образом, прямая EF является осью симметрии ABCD, аналогично доказывается и для прямой MN.
