Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 8 класс, Просвещение: 7. Может ли у треугольника быть центр симметрии? Выяснить: может ли у треугольника быть центр симметрии; Решение: 1) Центрально-симметричные фигуры при преобразовании симметрии относительно некторой точки переходят сами в себя, следовательно у многоугольников вершины переходят в другие вершины или сами в себя (если эта вершина является центром симметрии); 2) Так как вершины треугольника не могут лежать на одной прямой, то ни одна из его вершин не является центром симметрии; 3) Допустим, что у треугольника ABC существует центр симметрии в точке O, тогда его вершины при преобразовании симметрии относительно точки O переходят в другие вершины; 4) Если вершина A переходит в вершину B, то точка O лежит на середине стороны AB, значит вершина C не переходит ни в какую другую вершину (так как ни точка A ни точка B не лежат на медиане OC); 5) Аналогично, если точка A переходит в точку C, то точка B не переходит ни в какую другую вершину; 6) Следовательно наше предположение неверно и такой точки O не существует; Ответ: не может.
