Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 8 класс, Просвещение: 9. Докажите, что четырёхугольник, у которого есть центр симметрии, является параллелограммом. Доказать: четырехугольник, у которого есть центр симметрии, является параллелограммом; Доказательство: 1) Центрально-симметричные фигуры при преобразовании симметрии относительно некторой точки переходят сами в себя, следовательно у многоугольников вершины переходят в другие вершины или сами в себя (если эта вершина является центром симметрии); 2) Так как вершины четырехугольника не могут лежать на одной прямой, то ни одна из его вершин не является центром симметрии; 3) Пусть у четырехугольника ABCD точка O является центром симметрии; 4) Точка A переходит в точку C, а точка B переходит в точку D, тогда по определению симметрии относительно точки: AO=OC и BO=OD; 5) AC и BD являются диагоналями четырехугольника ABCD, а O-точка их пересечения (так как она принадлежит обоим отрезкам), следовательно ABCD-параллелограмм, что и требовалось доказать.
